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이과가 싫거나 귀찮다면 3줄 요약 ㄱㄱ. 

2기 10화에서 나온 버스 비행이 꽤나 논란이 되고 있는 것 같긴 한데, 덕분에 재밌는 분석 소재가 떠올랐음. 주제는 아쿠아 버스의 이륙거리를 구해보는 것. 사진의 픽셀 같은 것을 이용한 대충적인 눈대중이 아니라 계산식을 통해서 도출해내보도록 노력하겠음.

일단 우리가 구하고자 하는 이륙거리의 식에 대해 살펴보자.

(참고로, 앞으로 나올 식들은 국토교통부에서 발행한 '비행이론'을 참조했음.)

여기에서, Sw는 우리가 구할 '바람을 고려한 활주거리이고, S는 무풍시 활주거리, Vt는 무풍시 T/O SPD(쉽게 말해서 이륙속도), Vw는 정풍 성분(맞바람의 속도)를 의미하고 있음. 

그렇다면, 저 모든 미지수들을 구해야되겠다. 일단 S부터 구하도록 하겠음. S는 구하는 식은 다음과 동일.

이렇게 됨. S는 위에서 말했다시피 무풍시 활주거리, W는 중량, g는 고유상수로 32.2ft/sec^2을 의미하고, T는 추력, F는 타이어 마찰력, D는 항력, V는 속도를 의미한다.

일단 중량 먼저 구해보자. 아쿠아가 탄 버스는 폭스바겐 사의 'Volkswagen Type2를 참조한 것으로 보임.

Volksawagen Type 2의 무게는 2713 lbs, 즉 1230.5kg라고 할 수 있는데, 애니 속에서는 아쿠아 9명의 무게만큼 추가가 된다. 아쿠아 9명의 몸무게를 평균적으로 51kg이라고 잡을 경우, 1689.5kg이 됐어.

다음은 추력. 추력의 식은 다음과 같다.

원래 식은 T=V*dm/dt이지만, dm/dt를 공기밀도*유동체 부피의 단면적으로 교체함. 공기밀도 먼저 구해보자. 공기밀도는 고도에 따라서 다르므로, 아쿠아가 탄 버스의 고도가 얼마나 되는지 알아야 되는데, 아쿠아가 버스를 타고 비행한 시간은 영상에서 약 33초간 표현됨. 이를 물리에서 볼 수 있는 위치-시간 그래프와 속도의 대입하기 위해 변위 s를 구해보자. s는 처음 속도 V(0)*t+1/2a(t^2)으로 표현할 수 있다. 이 식을 만족시키기 위해서는 최초 속도를 구해야 하는데, 여기서 위해 나온 무풍시 활주거리를 구하는 식을 변형해서 V를 구할 수 있음.(이륙 시 최초 속도와 순항 시 필요한 최소 속도가 동일하다고 가정.)

버스의 받음각은 버스 맨 아래 부분을 기준으로 해서 22도로 측정됨. 22도에서의 양력계수는 1.55. 이제 버스의 밑면적의 단면적을 구해볼 차례. 영문 위키피디아에 따르면, Volkswagen Type 2의 상하 길이는 177.4인치, 좌우 길이는 67.7인치이다. 각각 4.5미터, 1.7미터임. 결국 단면적은 7.65m^2로 계산이 되네. 남은건 지상 0m에서의 공기밀도. 고도에 따른 온도, 압력 변화표에 의하면 지상 0m에서의 밀도는 1.225kg/m^3. 

순항 시 필요한 최소 속도를 구하는 식인 F(L)=1/2*C(L)*p*U^2*A에다가 대입을 하고 정리를 하면, U(min)=√2(1689.5)*√(1.55)(7.65)(1.225)=15.25m/s. 즉, 57.06km/h가 우리가 추력을 구하는 공식에서 구하고자 하는 속도가 되네.(사실 추력을 구하는 식에서 요구하는 V는 엔진에서 분출되는 유동가스의 속도를 말하는건데, 버스와 항공기는 구조적으로 다르므로, 차의 속력으로 대체함.)

변위 s는 결과적으로 15.25*33+1/2*0.46*(33^2)=753.72m가 된다. 즉 다시 말해 아쿠아의 버스가 마지막 장면에서 약 753m에 수렴했을 것으로 도출됨. 고도 753m에서의 공기밀도는 1.1395kg/m^3야.

그러면 이제 유동체 부피의 단면적을 구할 차례인데, 이건 진짜 구할 방법이 없으니 그냥 상수로 취급할게.

- 최종적으로 추력 T=(1.1395)*A*(15.25^2)=263.95N*A가 된다. 

추력을 구했으니 이제 F, 즉 타이어 마찰력을 구할 차례. F는 수직항력*마찰계수로 나타낼 수 있는데, 젖은 콘트리트 위 타이어의 운동마찰계수는 0.25이다. 수직항력의 식은 N=mgcosΘ인데, 여기서 m은 물체의 잘량, g는 중력가속도, 세타는 기울어진 각도를 의미함. 여기서 아쿠아의 버스는 평면을 달리고 있었으므로 cos0은 1이다. 위에서 구한 버스의 무게인 1689.5kg을 중력가속도 9.8m/s로 나누면, 172.3이 나온다. 수직 항력 N=172.3. 여기에다가 운동마찰계수인 0.25를 곱해주면, 43.07로 계산됐어.

이제 항력 D를 구할 차례, 항력식(Drag equation)은 다음과 동일.

다행스러운건, 이미 우리가 거의 다 구해놓았음. (양력식과 항력식은 맥락이 비슷.)

유체 밀도는 1.225kg/m^3이고, V는 15.25m/s, A는 고유상수. 항력계수는 0.45로 특정. 결국 항력 F(D)=1/2*1.225*(15.25^2)*0.45*A=64.1N*A. 

- 구할거 다 구했어. 무풍시 활주거리를 구하는 공식에다가 대입하자. 

S={1689.5/19.62}*{(15.25^2)}/{(263.59-64.1-43.07}를 정리하면, 86.1*1.48=127.428m겠네. (상수는 1로 특정시킴.)

결과적으로 우리가 구하고자 했던 아쿠아 버스의 무풍시 활주거리는 약 127.48m로 도출됐어.

맨 위에 있는 식인 바람을 고려한 활주거리 역시, 우리는 Vt와 Vw를 동일하게 됐으니까 127.48m 그대로 나오겠네.

세줄 요약

1. 아쿠아의 버스는 약 127m를 이동한 뒤 비행을 시작했다.

2. 원래 상수를 취하면 OOm까지 줄어들어야 정상이지만, 상수를 몰라서 어쩔 수가 읎다. 

3. 틀린 내용도 있을텐데 재미로 적은 글이니까 재미로 봐줘.

갠적으로도 이번 버스 비행씬은 좀 무리수였던 것 같은데, 걍 마음을 비우고 보기로 했다